Ejemplos practicos
Ejemplo 1
Se desea construir cajas de cartón sin tapa partiendo de cuadrados de lado 40 cm al que se les recortan las esquinas como indica la figura, luego se dobla a lo largo de las líneas punteadas.
a. ¿Es necesario que el recorte en las esquinas sea cuadrado?
b. Determina la longitud x de los recortes para el volumen de la caja sea Máximo, así como también el valor de ese volumen máximo.
Una vez armada, la caja tendrá como base un cuadrado de lado . Su volumen estará dado por la expresión
Estudiaremos la función en el intervalo
Valores en los extremos:
Busquemos puntos críticos.
Derivando:
Operando:
Anulando obtenemos como puntos críticos:
y
Para clasificar el punto crítico interior al intervalo estudiemos el signo de la derivada primera.
El valor corresponde pues a un máximo. El
bosquejo grafico de la función V es el que indica la figura.corresponde pues a un máximo. El bosquejo gráfico de la función $\mathbb{V}$ es el
que indica la figura.
Observa que la curva tiene tangente horizontal en ya que en ese valor la derivada es nula.
El correspondiente volumen será:
Ejemplo 2
Como el costo del alambre es proporcional a la longitud y los cinco tiros son iguales, bastara minimizar el costo de uno de ellos.
Llamemos L a su longitud expresada en (m) y A el área encerrada en . Tendremos: L= x+2y y deberá cumplirse la condición x.y=A (1) despejando a (y) de (1) y sustituyendo obtenemos la función L.
Derivando para hallar putos críticos:
Obtenemos entonces:
La función presenta mínimo en el valor hallado de x. el correspondiente valor de Y deducido de la expresión (1) será:
El ancho del rectángulo a alambrar es entonces la mitad del largo. Siendo 1 Hec.=10.000
obtenemos:
Como el alambre tiene 5 hilos, la longitud total de alambre será:
El costo total del alambre asciende a la suma de $ 156,52.
Si deseas tener un costo más ajustado del trabajo de almacenamiento deberás agregar el contó de los postes, el de os piques, el salario del alumbrador y estimar además un porcentaje de alambre para ataduras y de desperdicio.
